2018年10月8日からGoogleがサードパーティアプリの「Google アカウントのデータへのアクセス制限」の強化を行っています。
この対応の影響により、GoogleアカウントでログインするアプリやサービスがGoogleのポリシーに要件を満たさない状態になるとそのサービスは利用できなくなります。
6月26日にGoogleからデータポリシー要件の変更に伴い「ASUS Email」アプリは7月15日以降利用できなくなるとメールで通知が来ました。
「ASUS Email」はASUSから発売されているZenfoneシリーズにインストールされているメールアプリです。
このようなGoogleの「Googleからデータポリシー要件」を満たさないアプリやサービスはGoogleに再審査をすれば利用できるようになりますが、この通知が来るアプリやサービスは提供している提供者が審査を通す気がないので今後利用できる可能性はほぼ無いと思います。
「ASUS Email」 のようにGoogleのアカウントを使用して利用するアプリが出てきたときは変わりになるアプリを探しましょう。